Triedenie a stredné hodnoty – Priemer, Modus, Medián, Smerodajná odchýlka, Rozptyl

Triedenie a stredné hodnoty – Priemer, Modus, Medián, Smerodajná odchýlka, Rozptyl

Triedenie

Triedenie je usporiadanie štatistického súboru do určitých tried, skupín podľa určitých kritérií.

Triediaci znak je určité kritérium, podľa ktorého sa rozdeľujú prvky v štatistickom súbore.

Druhy triedenia

Podľa počtu triediacich znakov sa delí na:

1. Jednostupňový triediaci znak- je to zoradenie prvkov štatistického súboru podľa jedného znaku. Napríklad zoradenie štatistického súboru podľa veku alebo zoradenie štatistického súboru podľa príjmov domácnosti.
2. Viacstupňový triediaci znak – je to zoradenie prvkov štatistického súboru podľa dvoch alebo viacerých znakov. Napríklad v jednom štatistickom súbore je zoradenie podľa veku, pohlavia, vzdelania a príjmu ľudí.

Ďalšie druhy triedenia

1. Bilančné triedenie – je to triedenie na zdroje a potreby. Tam patrí napríklad štátny rozpočet
2. Druhotné triedenie- jav sa opakovaným spôsobom ďalej triedi na podtriedy. Tam patrí príklad, že štatistický súbor, ktorý je zoradený podľa kritéria vzdelania, je ďalej zoradený podľa štátnej príslušnosti prvkov ( ľudí) v štatistickom súbore.
3. Priestorové triedenie- je zoradenie prvkov štatistického súboru podľa krajov, okresov alebo štátov.
4. Primárne triedenie- je to v situáciách, keď metóda triedenia je použitá jeden krát
5. Časové triedenie- je zoradenie prvkov štatistického súboru podľa merných jednotiek času číže podľa minút, hodín, dní, týždňov, mesiacov, rokov a storočí.

Zásady triedenia

1. Zásada jednoznačnosti –

Pri tejto zásade nemôže vzniknúť pochybnosť do akej štatistickej triedy štatistický súbor zaradíme.

1. Zásada úplnosti

Pri tejto zásade platí, že každá štatistická jednotka má byť zaradená do štatistického súboru len raz

Tvorba tried

Pri tvorbe tried rozlišujeme samotnú triedu a triedny interval

Samotná trieda- ide o štatistický znak, ktorý v štatistickom súbore nadobúda iba niekoľko obmien

Triedny interval- ide o štatistický znak, ktorý v štatistickom súbore nadobúda mnoho obmien.

Typy grafov

Medzi typy grafov patria:

1. Histogram je stĺpcový graf, ktorý nevznikol pospájaním bodov
2. Polygón- základom je stĺpcový graf, ktorý vzniká pospájaním bodov
3. Ogivna krivka- je to kumulatívne rozdelenie početností
4. Gausová krivka- je normálne rozdelenie početností
5. Unimodálna krivka- je zvláštnym prípadom krivky, je to rozdelenie v tvare J.
6. Multimediálne- vznikol z viacerých vrcholov

Stredné hodnoty

Stredná hodnota je hodnota, ktorá je jasne a zrozumiteľne definovaná

Medzi charakteristiky polohy patrí priemer ( vážený a jednoduchý aritmetický priemer , harmonický priemer a geometrický priemer ), medián, modus, modálny interval, medianový interval

1. Stred intervalu

Zadanie príkladu pre stred intervalu

Máme prvky v štatistickom súbore, ktoré sú nasledujúce: 10, 15,20,25,30.

Riešenie príkladu pre stred intervalu

Stred intervalu vypočítame, že dolný interval sčítame s horným intervalom a vydelíme 2-ma

Stred intervalu= (10+30)/2= 20

Odpoveď príkladu pre stredný interval

Stredným intervalom hodnôt v štatistickom súbore 10, 15,20,25,30 je hodnota 20.

1. Aritmetický priemer:

Aritmetický priemer rozdeľujeme na

1. Vážený aritmetický priemer

Príklad pre vážený aritmetický priemer

Trieda 8. A mala 26 žiakov. V pondelok 26. januára písali žiaci písomku z matematiky , z ktorej boli nasledujúce výsledky žiakov

1-ku dostalo 5 žiakov

2-ku dostalo 8 žiakov

3-ku dostalo 4 žiaci

4-ku dostali 7 žiaci

5-ku dostali 2 žiaci

Vzorec pri výpočet aritmetického váženého priemeru

Počet žiakov* hodnota známky+ počet žiakov* hodnota známky....../ počet žiakov v triede

Riešenie príkladu na vážený aritmetický priemer

(1*5+2*8+3*4+4*7+5*2/26)=( 5+16+12+28+10)/26= 2,7037692

Odpoveď príkladu na vážený aritmetický priemer

Vážený aritmetický priemer žiakov 8. A triedy z písomky z matematiky 26. januára bol 2,7037692.

1. Jednoduchý aritmetický priemer

Príklad pre jednoduchý aritmetický priemer

Trieda 8. A mala 10 žiakov, ktorí mali nasledujúce výšky udané v cm.

Jožko-168 cm Janka- 153 cm, Peter- 171 cm, Natálka- 148 cm, Pavol- 160 cm, Filoména- 158 cm, Erika-152 cm, Koloman-191 cm, Marek- 175 cm, Roman-165 cm

Vzorec pre výpočet jednoduchého aritmetického priemeru

Spočítaná výška žiakov/ počet žiakov

Riešenie príkladu na jednoduchý aritmetický priemer

(168+153+171+148+160+158+152+191+175+165)/10=164,1

Odpoveď príkladu na jednoduchý aritmetický priemer

Jednoduchý aritmetický priemer telesných výšok žiakov 8. A triedy je 164,1 cm. 

1. Harmonický priemer

Zadanie príkladu pre harmonický priemer

V štatistickom súbore máme čísla 2,3,6, 7,7, 8.

Vzorec pre výpočet harmonického priemeru

Počet znakov v štatistickom súbore/ 1/ číslo v štatistickom súbore+ 1/ číslo v štatistickom súbore....

Riešenie príkladu pre harmonický priemer

6/1/2+1/3+1/6+1/7+1/7+1/8= 6/0,5+0,333+0,16666+0,142857+ 0,142857+0,125= 6/ 1,4= 4,3 po záokruhlení

Odpoveď príkladu pre harmonický priemer

Harmonickým priemerom prvkov štatistického súboru je hodnota 4,3 po zaokrúhlení

1. Geometrický priemer

Zadanie príkladu pre geometrický priemer

Máme nasledujúce čísla v štatistickom súbore 2,3,6,7,7,8, 9,9,9,10

Vzorec pre výpočet geometrického priemeru

Čísla v štatistickom súbore sú pod odmocninou, ktorá sa odvíja od počtu prvkov a všetky čísla v štatistickom v súbore sú vynásobené.

Riešenie príkladu pre geometrický priemer

1. odmocnina z 2*3*6*7*7*8*9*9*9*10=6,3

Odpoveď príkladu pre geometrický priemer

Geometrickým priemerom prvkov štatistického súboru je hodnota 6,3

1. Modus- je najčastejšie sa vyskytujúca hodnota v štatistickom súbore

 Zadanie príkladu pre modus

Dňa 26. septembra boli na 8 krajských meteorologických staniciach namerané nasledujúce teploty v stupňoch Celzia 

Žilina- 13,Bratislava-16, Košice- 13, Banská Bystrica- 14, Prešov- 13, Trnava- 16, Nitra-13, Trenčín-18

Riešenie príkladu pre modus

Pri riešení príkladu pre modus si všímame ako často sa vyskytujú jednotlivé hodnoty v štatistickom súbore.

V tomto príklade sa hodnota 16 vyskytuje 2-krát, hodnota 14 sa vyskytuje 1-krát, hodnota 18 1-krát a hodnota 13 až 3-krát

Odpoveď príkladu pre modus

Modusom nameraných hodnôt 26. septembra je 13 stupňov Celzia, lebo hodnota v štatistickom súbore sa vyskytuje 3-krát.

1. Medián- je hodnota, ktorá sa vyskytuje uprostred štatistického súboru

Odlišný výpočet mediánu je pri párnom a pri nepárnom počte prvkov štatistického súboru.

1. Zadanie príkladu pre medián pri párnom počte prvkov v štatistickom súbore

Prvky v štatistickom súbore sú nasledujúce: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Riešenie príkladu pre medián pri párnom počte prvkov v štatistickom súbore

Median= (3+4)/2= 3,5. Pri párnom počte prvkov v štatistickom súbore berieme do úvahy 2 čísla, ktoré najskôr sčítame a potom vydelíme 2-ma

Odpoveď príkladu pre medián pri párnom počte prvkov v štatistickom súbore

Medián prvkov v štatistickom súbore 1,2,3,4,5,6 je 3,5.

1. Zadanie príkladu pre medián pri nepárnom počte prvkov v štatistickom súbore

Prvky v štatistickom súbore sú 1,2,3,4,5,6,7.

Riešenie príkladu pre medián pri nepárnom počte prvkov v štatistickom súbore

Pri riešení mediánu pri nepárnom počte prvkov v štatistickom súbore berieme do úvahy len 1 číslo a v našom prípade je to číslo 4.

Odpoveď príkladu pre medián pri nepárnom počte prvkov v štatistickom súbore

Medián prvkov v štatistickom súbore 1,2,3,4,5,6,7 je 4.

1. Dolný kvartil

Rozdeľuje prvky na 2 časti, pričom v prvej časti je 25 % hodnôt a v druhej časti je 75 % hodnôt.

Vzorec pre výpočet dolného kvartilu

Dolný kvartil= (horná hranica intervalu + rozpätie intervalu)* poradie štatistickej jednotky+0,5-súčet absolutných početnosti / početnosť intervalu

1. Horný kvartil

Rozdeľuje prvky na 2 časti, pričom v prvej časti je 75 % hodnôt a v druhej časti je 25 % hodnôt.

Vzorec pre výpočet horného kvartilu= ( dolná hranica intervalu+ rozpätie intervalu)* poradie štatistickej jednotky+0,5- súčet absolútnych početnosti/ početnosť intervalu

Kvantily rozdeľujú celky na rovnaké časti a poznáme tieto druhy kvantil

1. Kvartily- rozdeľujú celok na 4 rovnaké časti
2. Percentily- rozdeľujú celok na 100 rovnakých častí
3. Medián- rozdeľujú celok na 2 rovnaké časti
4. Decily- rozdeľujú celok na 10 rovnakých častí

Variácie sú výsledkom viacerých obmien a pôsobia na ne sociálno-ekonomické javy ako napríklad vývoj inflácie, vývoj nezamestnanosti, vývoj demografie.

Variabilita je menlivosť prvkov v štatistickom súbore a je daná rôznymi podmienkami

Charakteristiky variability

Medzi charakteristiky variability patria variabilita, variačne rozpätie, kvantilové rozpätie, kvartilové rozpätie, kvartilová odchýlka, rozptyl, smerodajná odchýlka, pomerná priemerná odchýlka a variačný koeficient.

1. Variabilita je menlivosť prvkov v štatistickom súbore a je daná rôznymi podmienkami

2.Variačné rozpätie- je rozdiel medzi najvyššou a najnižšou hodnotou prvkov v štatistickom súbore.

Zadanie príkladu pre variačné rozpätie

Máme prvky v štatistickom súbore nasledujúce: 10,14,19,26,33,40,52,56,68,75,82

Riešenie príkladu pre variačné rozpätie

Našou najvyššou hodnotou v štatistickom súbore je hodnota 82 a najnižšou hodnotou je hodnota 10 a jednoducho najvyššiu hodnotu odpočítame od najnižšej hodnoty

V tomto prípade je to 82-10=72.

Odpoveď príkladu pre variačné rozpätie

Variačným rozpätím hodnôt v štatistickom súbore 10,14,19,33,40,52,56,68,75,82 je hodnota 72.

1. Kvartilová odchýlka

Kvartilová odchýlka je už zbavená extrémnych hodnôt, nevýhodou je, že nezobrazuje všetky prvky v štatistickom súbore.

Vzorec pre výpočet kvartilovej odchýlky

Kvartilová odchýlka je rozdiel medzi horným a dolným kvartilom vydelený 2-ma.

1. Kvartilové rozpätie

Vyjadruje šírku intervalu, v ktorom leží polovica hodnôt štatistického súboru.

Vzorec pre výpočet kvartilového rozpätia

Kvartilové rozpätie je rozdiel medzi horným a dolným kvartilom.

1. Rozptyl

Značka pre rozptyl

Značka pre rozptyl je s umocnené na druhú

Príklad pre rozptyl

Máme 2 štatistické súbory. V prvom štatistickom súbore sú hodnoty -10,0,10,20,30 a v druhom štatistickom súbore sú hodnoty 8,9,10,11,12

Riešenie príkladu pre rozptyl

s²1= (-10-10)²+ (0-10²)+ (10-10)²+(20-10)²+(30-10)²/5

s²1=(-20)²+(-10)²+0²+10²+20²/5

s²1= 400+100+0+100+400

s²1= 1000/5

s²1= 200

s²2= (8-10)²+(9-10)²+(10-10)²+(11-10)²+(12-10)²/5

s²2= 4+1+0+1+4/5

s²2= 10/5

s²2= 2

Odpoveď príkladu pre rozptyl

Rozptyl prvého štatistického súboru je 100-krát ako rozptyl druhého štatistického súboru.

1. Smerodajná odchýlka

Príklad pre smerodajnú odchýlku

V príklade zo smerodajnej odchýlke vychádzame z predchadzajucého príkladu z rozptylu

Riešenie príkladu pre smerodajnú odchýlku

Smerodajná odchýlka vzniká umocnením rozptylu na druhú

s²1= odmocnina z 200

s²1= 14,14

s²2= odmocnina z 2

s²2= 1,414

1. Variačný koeficient

Zadanie príkladu pre variačný koeficient

Vychádzame zo zadania o rozptyle a smerodajnej odchýlke

Riešenie príkladu pre variačný koeficient

Variačný koeficient vypočítame, že smerodajnú odchýlku vydelíme aritmetickým priemerom a vynásobíme 100-mi. Variačný koeficient značíme v a udávame v %. 

V1= 14,14/10*100

V1= 141,4

V2= 1,414/10*100= 14,14

Odpoveď príkladu pre variačný koeficient

Variačný koeficient prvého štatistického súboru je 141,4 a druhého štatistického súboru je 14,14.