Zadania maturitných tém z matematiky 2008

Zadania maturitných tém z matematiky 2008

1. Funkcie s absolútnou hodnotu, rovnice a nerovnice

Grafy funkcií s absolútnou hodnotou, výpočtové a grafické metódy riešenia rovníc a nerovníc v ktorých sa vyskytuje absolútna hodnota.

2.Rovnice, nerovnice, sústavy rovníc, rovnice s parametrom,

Rovnice a nerovnice, sústavy rovníc a nerovníc. Rôzne metódy riešenia sústav lineárnych rovníc. Riešenie lineárnych a kvadratických rovníc s parametrom.

3. Kvadratické funkcie, rovnice a nerovnice

Graf a vlastnosti kvadratickej funkcie, obor hodnôt. Riešenie kvadratických rovníc a nerovníc. Využitie Vietových vzťahov medzi koeficientami a koreňmi normovanej kvadratickej rovnice. Riešenie kvadratickej rovnice s parametrom.

4. Planimetria, konštrukčné úlohy, konštrukcia trojuholníka, mnohouholníka, kružnice

Trojuholníky, dôležité body v trojuholníku, kružnica, veta o stredovom a obvodovom uhle v kružnici, konštrukcia štvoruholníkov a mnohouholníkov, množiny bodov danej vlastnosti.

5. Kombinatorika a pravdepodobnosť

Kombinatorické úlohy. Variácie, permutácie, kombinácie bez opakovania. Variácie, permutácie a kombinácie s opakovaním. Pravdepodobnosť náhodných udalostí, udalosť istá a nemožná, vlastnosti pravdepodobnosti. Nezávislosť. Bernoulliho schéma.

6. Vlastnosti kombinačných čísel a binomická veta

Úlohy z algebry kombinačných čísel a binomickej vety. Vlastnosti kombinačných čísel, úpravy výrazov s faktoriálmi.

7. Funkcie, vlastnosti funkcií, lineárna lomená funkcia

Definícia pojmu funkcia, definičný obor a obor hodnôt, graf funkcie, monotónnosť, párnosť a nepárnosť, ohraničenosť, periodické funkcie. Prosté funkcie a funkcie k nim inverzné.

8. Mocninové funkcie, mocniny a odmocniny

Iracionálne rovnice a nerovnice. Ekvivalentné a dôsledkové úpravy. Výrazy s mocninami a odmocninami. Grafy mocninových funkcií, grafy funkcií s neznámou pod odmocninou, rovnosť funkcií.

9. Goniometrické funkcie, goniometrické identity

Definičný obor a obor hodnôt, vlastnosti goniometrických funkcií. Zložené goniometrické funkcie a ich grafy. Nulové body a grafické riešenie nerovníc. Vzťahy medzi goniometrickými funkciami.

10. Goniometrické rovnice a nerovnice

Výpočtové a grafické metódy riešenia goniometrických rovníc a nerovníc. Vzťahy medzi goniometrickými funkciami a ich použitie pri riešení. Určovanie definičného oboru a oboru pravdivosti.

11. Planimetria, výpočtové úlohy, trigonometria

Riešenie pravouhlého a všeobecného trojuholníka, Pytagorova veta, Euklidove vety, sínusová a kosínusová veta. Riešenie pravouhlého a všeobecného trojuholníka. Vzťahy pre výpočet plôch a obsahov rovinných obrazcov. Vzťahy medzi určujúcimi prvkami v trojuholníku. 

12. Planimetria, podobné a zhodné zobrazenia

Osová a stredová súmernosť, otočenie, posunutie. Rovnoľahlosť úsečiek, trojuholníkov, kružníc. Konštrukčné úlohy riešené pomocou zhodných a podobných zobrazení.

13. Stereometria, polohové úlohy

Vzájomná poloha priamok, rovín, priamky a roviny, vzájomná poloha troch rovín. Rez telesa rovinou, priesečník priamky s telesom, skutočná veľkosť úsečky, rovinného rezu.

14. Stereometria, metrické úlohy

Odchýlka priamky od priamky, roviny od roviny, priamky od roviny. Kolmosť priamky na rovinu, priamky na priamku, roviny na rovinu. Vzdialenosť bodov, bodu od priamky, bodu od roviny, priamky od roviny, dvoch rovín, dvoch rovnobežných priamok. 

15. Stereometria, povrchy a objemy telies

Povrchy hranatých a rotačných telies, využitie klasických metód počítania povrchov a objemov. Hranoly, ihlany, valec, kužeľ, zrezaný kužeľ, zrezaný ihlan, guľa a jej časti. 

16. Exponenciálne a logaritmické funkcie

Definícia pojmu logaritmus čísla. Pojem exponenciálna a logaritmická funkcia, definičný obor a obor hodnôt, grafy a vlastnosti, vzťah medzi logaritmickou a exponenciálnou funkciou pri rovnakom základe. 

17. Exponenciálne a logaritmické rovnice a nerovnice

Vlastnosti exponenciálnych a logaritmických funkcií a ich použitie pri riešení rovníc a nerovníc, monotónnosť týchto funkcií. Logaritmus čísla logaritmické identity. 

18. Vektory, vektorová algebra

Operácie na množine vektorov, súčet, rozdiel, skalárny a vektorový súčin, vlastnosti vektorových operácií. Závislosť a nezávislosť vektorov. 

19. Analytická geometria lineárnych útvarov – polohové úlohy, kolmosť

Vzájomná poloha priamok a rovín, priamky a roviny. Vzájomná poloha troch rovín. Kolmosť priamok, priamka kolmá na rovinu, kolmosť rovín. 

20. Analytická geometria lineárnych útvarov – metrické úlohy

Odchýlka priamok, priamky od roviny, odchýlka dvoch rovín. Vzdialenosť bodov, bodu od priamky v dvojrozmernom a bodu od roviny v trojrozmernom priestore. Vzdialenosť bodu od priamky v trojrozmernom priestore, vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín a priamok, vzdialenosť priamky od roviny, vzdialenosť mimobežiek, os mimobežiek. 

21. Komplexné čísla

Definícia komplexného čísla, štruktúra množiny C, operácie na množine C, algebraický a goniometrický tvar komplexného čísla, súčin a podiel čísel v goniometrickom tvare, absolútna hodnota komplexného čísla, komplexná jednotka, n-tá mocnina komplexného čísla a Moivrova veta. n-tá odmocnina komplexného čísla. 

22. Riešenie rovníc v C

Kvadratické a binomické rovnice. 

23. Kužeľosečky

Regulárne kužeľosečky a ich vlastnosti, rovnice kužeľosečiek, vyšetrovanie množiny bodov metódou súradníc, priamka a kužeľosečka, dotyčnica kužeľosečky.

24. Teória čísel, matematická logika, dôkazy v matematike

Kritériá deliteľnosti, najväčší spol. deliteľ, najmenší spol. násobok, počet deliteľov, rozklad na prvočinitele, vlastnosti deliteľnosti, prvočísla a zložené čísla, výrok a jeho pravdivostná hodnota, kvantifikované výroky, negácia výrokov, zložené výroky a ich negácia, tautológia. Priamy, nepriamy dôkaz, dôkaz sporom, dôkaz matematickou indukciou. 

25. Postupnosti, aritmetická a geometrická postupnosť

Určenie postupností všeobecným členom a rekurentné určenie, monotónne postupnosti, ohraničené postupnosti, určenie aritmetickej a geometrickej postupnosti, súčet n-členov, použitie aritmetickej a geometrickej postupnosti. 

26. Limita postupnosti a nekonečný geometrický rad

Definícia pojmu limita postupnosti, výpočet limít. Nulová postupnosť, konvergentná a divergentná postupnosť, vzťah medzi ohraničenosťou a konvergenciou monotónnych postupností. Definícia pojmu nekonečný rad, nekonečný geometrický rad, nutná a postačujúca podmienka konvergencie nekonečného geometrického radu. 

27. Limita a spojitosť funkcie reálnej premennej

Intuitivne  pojem limity a spojitosti funkcie. Výpočet limít vo vlastnom aj nevlastnom bode. 

28. Derivácia, derivácia a dotyčnica ku grafu funkcie

Intuitivne pojem derivácie, derivácia a dotyčnica ku grafu funkcie. Derivácia súčtu, súčinu a podielu funkcií. Úlohy na extrémy funkcie, monotónnosť funkcie a derivácia.

29. Vyšetrovanie priebehu funkcie

Definičný obor, párnosť, nepárnosť, periodičnosť funkcie. Nulové body, stacionárne body a ich typ, inflexné body. Rastúcosť, klesajúcosť funkcie, konkávnosť a konvexnosť oblúka krivky grafu, výpočet dôležitých limít, zostrojenie grafu funkcie. 

30. Určitý a neurčitý integrál

Integračné metódy. Metóda per partes, substitučná metóda. Určitý integrál. Výpočet obsahov krivočiarych lichobežníkov, výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu.